UVa 744 Triangular Museum

题目描述Triangular Museum\texttt{Triangular Museum}Triangular Museum是一个由K2K^2K2个全等三角形房间组成的博物馆形状也是一个大的正三角形。每个房间内恰好有一名警卫警卫的名字由不超过101010个字母组成。初始时所有警卫位于某个初始配置目标是将他们移动到另一个事先约定的目标配置。移动规则是每次只能交换两个相邻房间内警卫的位置。要求输出一个交换序列使得从初始配置变换到目标配置且交换次数不超过4K34K^34K3。输入格式输入包含多个测试实例。每个实例的第一行是一个整数KKK0≤K≤100 \le K \le 100≤K≤10表示大三角形的边长即共有K2K^2K2个房间。第二行包含2K22K^22K2个警卫名字前K2K^2K2个是初始配置从上到下、从左到右排列后K2K^2K2个是目标配置同样顺序。名字之间至少有一个空格分隔。输入以单独的一行0结束。输出格式对于每个测试实例首先输出一行整数NNN表示交换的次数N≤4K3N \le 4K^3N≤4K3。随后输出NNN行每行两个警卫名字表示一次交换。两个实例的输出之间用一个空行隔开。样例输入3 DD FF AA CC BB EE II GG HH AA BB CC DD EE FF GG HH II 2 D A B C A B C D 0输出6 GG II HH II EE BB DD AA BB FF DD CC 3 A B A D C D题目分析本题的核心是将一个图上的标签置换问题转化为一系列相邻交换。博物馆的房间构成一个三角形网格每个房间是一个顶点相邻房间之间有边。初始时每个顶点有一个标签警卫名目标是将标签移动到指定顶点。允许的操作是交换一条边两端的标签。由于图是连通的且顶点数NK2≤100N K^2 \le 100NK2≤100边数O(K2)O(K^2)O(K2)我们可以采用贪心策略按目标顺序逐个确定每个顶点的标签。当处理到顶点vvv时若目标标签不在vvv则从该标签当前位置srcsrcsrc出发在尚未确定即未固定的顶点子图上找到一条路径到vvv然后沿路径依次交换相邻标签最终将目标标签移动至vvv然后将vvv标记为固定不再参与后续移动。这种策略的可行性依赖于在固定了若干顶点后剩余的未固定顶点构成的子图仍然是连通的。事实上对于三角形网格固定任意顶点不会破坏剩余部分的连通性除非固定了所有顶点因此总能找到一条不经过固定顶点的路径。每次沿路径移动的长度不超过图直径O(K)O(K)O(K)总交换次数为O(K3)O(K^3)O(K3)满足题目限制4K34K^34K3。解题思路图的构建题目要求的三角形排列共有KKK层从上到下第rrr层0≤rK0 \le r K0≤rK包含2r12r12r1个小三角形总数为∑r0K−1(2r1)K2\sum_{r0}^{K-1} (2r1) K^2∑r0K−1​(2r1)K2。每个小三角形用一个编号表示编号顺序必须与输入顺序一致从上到下从左到右。为了正确建立相邻关系需要确定每个小三角形在网格中的几何位置。一种简便方法是预先构建一个通用的三角形网格适用于K10K10K10的最大情况然后根据输入的KKK截取前K2K^2K2个房间并建立邻接表。在通过的代码中使用了一个固定的区间划分vectorpairint,intinterval{{1,1},{2,4},{5,9},...,{82,100}};每个区间{s, e}对应一层中的房间编号范围从s到e层内房间从左到右编号。层与层之间的连接通过扫描每层内部的奇数位置link为 1 时连接到上一层的对应房间。这样构建的图完全符合三角形网格的几何相邻关系且编号顺序与输入一致。移动策略按目标顺序处理每个房间iii从111到NNN读取目标配置中第iii个名字s它应最终位于房间iii。若该警卫已经在房间iii则直接标记房间iii为固定disabled[i] 1跳过。否则在未固定的房间子图上执行BFS\texttt{BFS}BFS从该警卫当前位置room出发找到到达iii的一条路径。由于未固定子图连通BFS\texttt{BFS}BFS一定能找到路径。使用父指针数组parent还原路径路径为从room到iii的顶点序列。沿路径依次交换相邻房间内的警卫每次交换记录两个警卫名字并更新房间内的警卫名字。将房间iii标记为固定disabled[i] 1。这样每处理完一个房间它的最终配置就确定了并且后续移动不会进入该房间从而保证已固定部分不会被破坏。复杂度分析每个房间最多触发一次BFS\texttt{BFS}BFS每次BFS\texttt{BFS}BFS的时间复杂度为O(NE)O(N E)O(NE)其中NK2N K^2NK2EO(N)E O(N)EO(N)。路径长度不超过NNN总交换次数不超过N⋅N \cdotN⋅直径(G)O(K3)(G) O(K^3)(G)O(K3)满足题目给定的上界。对于K≤10K \le 10K≤10该算法非常高效。代码实现// Triangular Museum// UVa ID: 744// Verdict: Accepted// Submission Date: 2026-07-06// UVa Run Time: 0.080s//// 版权所有C2026邱秋。metaphysis # yeah dot net#includebits/stdc.husingnamespacestd;vectorintg[110];voidbuildGraph(){vectorpairint,intinterval{{1,1},{2,4},{5,9},{10,16},{17,25},{26,36},{37,49},{50,64},{65,81},{82,100}};for(inti1;iinterval.size();i){intsinterval[i].first,einterval[i].second,upinterval[i-1].first;for(intnows,link0;nowe;now,link^1){if(nowe){g[now].push_back(now1);g[now1].push_back(now);}if(link){g[now].push_back(up);g[up].push_back(now);up2;}}}}intdisabled[110],visited[110],parent[110];voidbfs(ints,intt){memset(visited,0,sizeofvisited);memset(parent,-1,sizeofparent);queueintq;q.push(s);visited[s]1;while(!q.empty()){intuq.front();if(ut)break;q.pop();for(autov:g[u]){if(disabled[v]||visited[v])continue;visited[v]1;parent[v]u;q.push(v);}}}intmain(){cin.tie(0),cout.tie(0),ios::sync_with_stdio(false);buildGraph();intK,cases0;while(cinKK){if(cases)cout\n;intNK*K;string s;vectorstringnames;for(inti1;iN;i){cins;names.push_back(s);}memset(disabled,0,sizeofdisabled);vectorpairstring,stringswaps;for(inti1;iN;i){cins;introom1(find(names.begin(),names.end(),s)-names.begin());if(roomi){disabled[i]1;continue;}bfs(room,i);vectorintpath;intui;while(parent[u]!-1){path.push_back(u);uparent[u];}path.push_back(u);reverse(path.begin(),path.end());for(intj1;jpath.size();j){swaps.push_back({names[path[j-1]-1],names[path[j]-1]});swap(names[path[j-1]-1],names[path[j]-1]);}disabled[i]1;}coutswaps.size()\n;for(autop:swaps)coutp.first p.second\n;}return0;}总结本题的关键在于将抽象的房间置换问题转化为图上的路径交换问题。通过贪心策略逐个固定目标位置并利用BFS\texttt{BFS}BFS在剩余连通子图中寻找路径保证了方案的可行性。图的构建需要准确反映三角形网格的几何相邻关系而代码中预定义的区间方法简洁且正确。该算法的时间复杂度为O(K3)O(K^3)O(K3)完全满足K≤10K \le 10K≤10的规模。主要技巧包括固定已处理节点动态维护映射以及路径还原与交换这些思想在图论相关的置换问题中具有通用性。